正弦定理的公式是什么,高中数学正弦余弦定理的公式及其推论


设任意三角形△ABC,角A、B、C的对边分别记作a、b、c,则可得到正弦定理、余弦定理的公式及其推论如下。



正弦定理公式及其推论



正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对的角的正弦的比相等。


正弦定理公式、余弦定理公式


一、正弦定理公式



a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R。



注1】其中“R”为三角形△ABC外接圆半径。下同。



注2】正弦定理适用于所有三角形。初中数学中,三角形内角的正弦值等于“对比斜”仅适用于直角三角形。



二、正弦定理推论公式



1、(1)a=2RsinA;



(2)b=2RsinB;



(3)c=2RsinC。



2、(1)a:b=sinA:sinB;



(2)a:c=sinA:sinC;



(3)b:c=sinB:sinC;



(4)a:b:c=sinA:sinB:sinC。



【注】多用于“边”、“角”间的互化。


三角板的边角关系也满足正、余弦定理


3、由“a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R”可得:



(1)(a+b)/(sinA+sinB)=2R;



(2)(a+c)/(sinA+sinC)=2R;



(3)(b+c)/(sinB+sinC)=2R;



(4)(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R。


正弦定理推论公式


4、三角形ABC中,常用到的几个等价不等式。



(1)“a>b”、“A>B”、“sinA>sinB”,三者间两两等价。



(2)“a+b>c”等价于“sinA+sinB>sinC”。



(3)“a+c>b”等价于“sinA+sinC>sinB”。



(4)“b+c>a”等价于“sinB+sinC>sinA”。



5、三角形△ABC的面积S=(abc)/4R。其中“R”为三角形△ABC的外接圆半径。


部分三角函数公式


余弦定理公式及其推论



余弦定理:三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。



一、余弦定理公式



(1)a^2=b^2+c^2-2bccosA;



(2)b^2=a^2+c^2-2accosB;



(3)c^2=a^2+b^2-2abcosC。



】余弦定理及其推论适用于所有三角形。初中数学,三角形内角的余弦值等于“邻比斜”仅适用于直角三角形。


余弦定理公式及其推论公式


二、余弦定理推论公式



1、cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc;



2、cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac;



3、cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab。



三角形的正弦定理和余弦定理公式及其推论常用来解三角形。对于某些复杂题,需要把正弦定理和余弦定理及其推论综合起来运用。



【例题】已知三角形△ABC中,角A=30°,a=2,求三角形△ABC外接圆的面积。



解:设三角形ABC外接圆半径为R,



根据正弦定理得:a/sinA=2R,



所以R=a/(2sinA)=2,



所以,三角形ABC的外接圆面积S=4π。

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