不定积分是什么意思,不定积分的含义及其计算方法

一、原函数不定积分的概念 原函数的定义:

如果区间I上,可导函数F(x)的导函数为f'(x),即对任一x∈I都有 F'(x)=f(x) 或 dF(x)=f(x) dx 那么函数F(x)就称为f(x)(或 f(x) dx)在区间 I 内的一个原函数。

原函数存在定理:

如果函数f(x)在区间 I 上连续,那么在区间 I 上存在可导函数F(x),使对任一x∈I都有 F'(x)=f(x).

简单地说:

连续函数一定有原函数。

不定积分的定义:

在区间 I 上,函数f(x)的带有任意常数项的的原函数称为f(x)( f(x)dx ) 在区间 I 上的不定积分,记作 ∫ f(x)dx . 其中 记号 ∫ 称为 积分号,f(x)称为被积函数 f(x)dx 称为被积表达式,x 称为积分变量。

二、基本积分公式

谈论不定积分及其求法

谈论不定积分及其求法

三、不定积分的性质

设函数f(x)及g(x)的原函数存在,则∫ [ f(x) ± g(x)] dx= ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx 。记:合拢的加减积分可以分开加减积分2. 设函数f(x)及g(x)的原函数存在,k为非零常数,则

∫ k f(x) dx=k ∫ f(x) dx

记:非零常数 乘以积分,可以把常数拿到外面乘不定积分。

四、第一类换元积分法

设f(u)具有原函数,u=φ(x)可导,则有换元公式:

谈论不定积分及其求法

也叫做 凑微分法

五、第二类换元积分法

设x=ψ(t)是单调的可导函数,并且 ψ'(t)≠0,又设f[ψ(t)]ψ'(t)具有原函数,则有换元公式

谈论不定积分及其求法

是x=ψ(x)的反函数。

三种常见的换元公式(注:利用三角形理解去记)

谈论不定积分及其求法

利用第二种换元积分法解出的常见的积分公式:

谈论不定积分及其求法

六、分部积分法

设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数,则两个函数乘积的导数公式为 (uv)'=u'v+uv',移项,得: u v'=(u v)'-u' v

对这个等式两边求积分

∫ u v' dx=u v- ∫ u' v dx 称为分部积分公式

分部积分法的积分顺序:反对幂指三,其含义是 从后面考虑容易积分的,先对那个积分。积分顺序 :先, 三角函数 再, 指数函数 其次 , 幂函数 再次 ,对数函数,最后才是反三角函数。

七、有理函数的积分

1.复合函数积分利用换元法: ∫ f[ g(x) ]dx, 令t=g(x) ,解出 x= u(t) ,t=g(x) 和x= u(t) 互为反函数,dx=u(t)dt 则∫f(t) du(t).

2.有理函数的积分

两个多项式的商 P(x) / Q(x) 称为有理函数,又称为有理分式。

当分子多项式P(x)的次数小于分母多项式的次数时,称这有理函数为真分式。

当分子多项式P(x)的次数大于分母多项式的次数时,称这有理函数为假分式。

如果 分母Q(x)可以分解为两个多项式的乘积。

Q(x)=Q(x1)Q(x2) 且Q(x1)、Q(x2)没有公因式,可以拆分成两个真分式之和

P(x)/Q(x) = P1(x)/Q1(x) + P2(x)/Q2(x)。

例如:设有两个个因子 A,B满足

谈论不定积分及其求法

通过次幂的系数相等,有

A+B=1, -(2A+3B)=1,

解得

A=4, B=-3

3.可化为有理函数的积分(复杂的有理式)

利用换元积分法积分,令一个量等于复杂的式子,解出反函数式子来求积分。

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