圆周率算到了多少位,一文带你了解圆周率

如果问你最早接触的数学常数是啥?想必很多人都会脱口而出:圆周率!

圆周率已算至62.8万亿位!为何要算这么多?若能算尽,会发生啥?

没错,圆周率在小学期间就已经被我们所熟知,简单来讲,不论是多大面积的圆,它们都有一个共同点,那就是周长与直径的比值都为一个常数,这就是圆周率π,而且它还是一个无理数,也就是无限不循环小数。

圆周率历史

数学史上有很多关于计算圆周率的记载,对于我们来讲,最熟知的莫过于“祖冲之计算圆周率”,这位南北朝时期的数学家,第一次将圆周率精确到小数点后7位,并且这一记录领先了西方近千年之久。

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不过我们感兴趣的是祖冲之是用的什么办法去求的圆周率呢?实际上,他所用的办法正是魏晋时期的大数学家刘徽所提出的“割圆术”,其书中的原话是:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”。

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简单来讲就是用一个多边形去逼近圆形,多边形的边越多,那么就越接近圆(以现代的眼光看来,其本质就是微积分中的极限思想)。

割圆术本质上是一种几何法,但随着数学的进步,出现了更为方便精准的分析法,比如无穷级数等,给出了很多圆周率数值表达式。

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再往后随着计算机的出现,圆周率计算的位数更是直接呈几何式的翻倍。

比如在2021年8月5日,瑞士的科研人员宣布他们利用一台超级计算机,耗时108天零9个小时,算出了圆周率小数点后62.8万亿位,这是一项新的世界记录,不过他们也表示,这项纪录可能不会保持太久。

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因为在此之前的2020年以及2019年,分别有人创造了50万亿位和31.4万亿位的记录。2020年的是由一位爱好者利用个人电脑,耗时303天,算出了50万亿位。而2019年的是由谷歌云计算系统耗时121天,算出了31.4万亿位,准确来说是小数点后 31415926535897 位,目的为了纪念那年3月14日的国际圆周率日。

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为何要算那么多?

如果说古时候的数学家计算圆周率是为了寻找更多数学性质,毕竟那时候的数学远不及现在丰富深厚。但是自从1761年,德国数学家兰伯特证明了圆周率为无理数(也就是无限不循环小数)。

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以及1882年,也是德国数学家林德曼证明了圆周率为超越数(即不能作为有理系数多项式根的实数,由此可以知道古希腊时期,想靠直尺和圆规完成“化圆为方”是不可能的)之后,似乎再疯狂追求圆周率的位数就成了一件无用的事情?

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但自从计算机出现后,人们对于圆周率位数的计算反而更加“疯狂”了,为何呢?难道是因为圆周率越精确,越有利于科学研究或者实际生活使用?并不是,实际上圆周率用到几十位,就已经非常精确了。

但人们还一直计算圆周率的原因,其实很简单:能在更短时间内算出更多的位数,这种高精度的计算是判断一台计算机处理能力是否优秀的手段之一。

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若能算尽,会发生啥?

如果圆周率哪一天被证实能算尽了,会发生啥事呢?估计不少朋友都曾想过这样的问题。

但实际上,在通常情况下,这种情况是不会出现的,因为圆周率是无理数这一结论是通过严格的数学证明给出的,拔出萝卜带出泥,如果圆周率真被算尽了,那将是数学大厦的一场大地震。(考虑到数学不同于自然学科,它不需要对应客观世界的实体存在,也就是说,数学是一个放之四海而皆准的东西)

但是请注意,这个结论有一个前提,就是上段头所言的“通常情况”,那么这个通常情况到底是个啥呢?

  • 欧氏与非欧几何

很简单,我们现在所熟知的圆周率数值3.14159......,实际上是建立在欧几里得几何体系之内的。

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啥是欧几里得几何?很简单,就是我们中小学时期所学的几何,比如过直线外一点,只能做出一条平行线(平行公设)

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再比如,三角形内角和为180度等等,有这些结论的都是欧几里得几何。

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但随着数学的发展,人们发现,这种几何体系虽然和现实世界十分相符,但似乎并不唯一,于是人们就以刚才那条平行公设为切入点,又发现了两种新几何(非欧几何),分别是罗氏几何和黎氏几何,在这些几何当中,三角形的内角和不再是180度、圆周率也不再是一个固定值了。

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后来经过黎曼的努力,三种几何统一成了黎曼几何,这也是后来爱因斯坦的广义相对论所要用到的数学理念。

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为了形象地介绍在不同几何环境下,圆周率的变化,下面就以相对论为背景,来说明这个问题。

  • 爱因斯坦转盘内的圆周率

1909年,爱因斯坦的好友保罗·埃伦费斯特在《物理杂志》上发表了一篇简短地只有两面纸不到的论文,标题为《刚体的匀速转动与相对论》(注意,此时广义相对论还没问世,只有狭义相对论)。

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论文提出了这样一个“简单”的问题:如果有一个匀速转动的圆盘,我站在外面用量尺去测量圆盘周长,以及站在圆盘上用量尺去测量圆盘周长,试问结果如何?

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这个问题看上去非常简单,根据狭义相对论,运动的物体会在运动方向上收缩,也就说如果在圆盘静止时,在其周边摆放上一圈量尺(比如一根量尺长度一厘米,就这样摆一圈,当然了,量尺越短越好,因此那样就无限逼近圆形周长了),之后圆盘匀速转动,由于运动尺缩,圆盘上原本首尾相连的量尺,竟然出现了空隙,而圆盘的周长是由量尺数量决定的,因此这也就说明圆盘周长变长了。

注意,上面这段话是比较笼统的说法,用于科普是没有问题的,细究的话还要细分,不过最后的结论是正确的,也就是转盘系测量的周长要大于地面系。(如果有了解相对论的朋友,应该对于下面给出的空间线元不陌生,这就是结论的依据)

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这时候我们发现,圆盘周长变长了,但直径却没有变化,那岂不是说圆周率变大了吗?而且圆周率的数值与转盘速度挂钩了,理论上,圆周率直接可以变为整数!不过这没有什么好奇怪的,因为转盘空间已经不符合欧氏几何的要求,而是属于非欧几何了。

  • 弯曲时空下的圆周率

实际上,按照广义相对论的要求,我们现实世界中的圆周率其实原本就不是3.14159......这样的数值,因为现实世界很难找到严格意义上的欧氏空间,但凡空间里存在一个物体,那么就不属于欧氏空间了。

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原因很简单,因为广义相对论将引力解释为时空弯曲,以最简单的史瓦西时空而言,单独把空间线元拎出来,你会发现它长下面这个模样

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很明显,如果画一个圆,其半径方向上的空间是非欧的,也就是半径是个变量,与引力源的质量能量分布相关,由此可见,圆周率自然也是一个变量了。

总结

由此可见,欧氏几何中的圆周率是不能被算尽的,是一个无理数,如果能被算尽,只能说明我们现在用的数学体系要修改了。

而在非欧几何中的圆周率则大有不同,能不能算尽,得看具体情况,总之这就和非欧几何中三角形内角和不为180度一样,熟悉之后,也就没什么好奇怪的了,更不会发生啥事。而且依据广义相对论,非欧几何才符合真实宇宙,而欧氏几何只是非常接近于真实宇宙而已。

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