圆面积的推导公式过程图片,圆面积公式的多种方法推导汇总

  圆面积公式的推导,中间包含有朴素的极限、积分思想(无穷切割到无穷小后累加)和微积分思想。当然,该公式包含π,自然是以圆周公式2πr为基础。

  1 圆面积夹逼于内切和外四边形如下图,圆的面积应该大于内切四边形面积:

圆面积的推导过程怎么写(圆面积公式的多种方法推导汇总)(图1)

  ,小于外切四边形的面积

圆面积的推导过程怎么写(圆面积公式的多种方法推导汇总)(图2)
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  比较接近于

圆面积的推导过程怎么写(圆面积公式的多种方法推导汇总)(图4)

  系数分别是2和4,圆周长是半径以π为线性关系,圆面积呢?

  2 化圆为长方形如下图,对圆做分割后可以组合成一个近似长方形:

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圆面积的推导过程怎么写(圆面积公式的多种方法推导汇总)(图6)

  3 化圆为n个三角形如下图,先从一个常量开始,切分为24个扇形:

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圆面积的推导过程怎么写(圆面积公式的多种方法推导汇总)(图8)
圆面积的推导过程怎么写(圆面积公式的多种方法推导汇总)(图9)

  

圆面积的推导过程怎么写(圆面积公式的多种方法推导汇总)(图10)

  推广到切分为n个扇形:

圆面积的推导过程怎么写(圆面积公式的多种方法推导汇总)(图11)
圆面积的推导过程怎么写(圆面积公式的多种方法推导汇总)(图12)
圆面积的推导过程怎么写(圆面积公式的多种方法推导汇总)(图13)

  

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  4 化圆为三角把圆分成n个大小递减的圆环可以堆叠成一个三角形:

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  每个圆环面积 ≈ 每个长方形面积

圆面积的推导过程怎么写(圆面积公式的多种方法推导汇总)(图16)

  当n→∞时,把这些圆环的面积加起来就是圆的面积。

  用微积分描述就是:

圆面积的推导过程怎么写(圆面积公式的多种方法推导汇总)(图17)

  5 利用极限先来看怎样利用三角函数求圆内三角形面积,如下图:

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圆面积的推导过程怎么写(圆面积公式的多种方法推导汇总)(图19)

  S_蓝色三角形 =

圆面积的推导过程怎么写(圆面积公式的多种方法推导汇总)(图20)

  当三角形切分得越来越多,

圆面积的推导过程怎么写(圆面积公式的多种方法推导汇总)(图21)

  趋于无穷小,利用极限求和,可得圆面积公式:

  其中利用极限

圆面积的推导过程怎么写(圆面积公式的多种方法推导汇总)(图22)

  来计算:

圆面积的推导过程怎么写(圆面积公式的多种方法推导汇总)(图23)

  也可以用以下过程来推理:

圆面积的推导过程怎么写(圆面积公式的多种方法推导汇总)(图24)
圆面积的推导过程怎么写(圆面积公式的多种方法推导汇总)(图25)

  n→+∞时,a→0

圆面积的推导过程怎么写(圆面积公式的多种方法推导汇总)(图26)
圆面积的推导过程怎么写(圆面积公式的多种方法推导汇总)(图27)

  以上切分三角形,其实也是切分正n边形的思想,一个正n边形,对应n个相同三角形:

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  也就是古老的割圆术:

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  6 利用微积分圆心在原点,半径为

圆面积的推导过程怎么写(圆面积公式的多种方法推导汇总)(图30)

  的圆方程为

圆面积的推导过程怎么写(圆面积公式的多种方法推导汇总)(图31)
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  当

圆面积的推导过程怎么写(圆面积公式的多种方法推导汇总)(图33)

  时,

圆面积的推导过程怎么写(圆面积公式的多种方法推导汇总)(图34)

  和

圆面积的推导过程怎么写(圆面积公式的多种方法推导汇总)(图35)

  是一一对应关系,可以看出函数

圆面积的推导过程怎么写(圆面积公式的多种方法推导汇总)(图36)

  基本微积分知识告诉我们,当我们求积分

圆面积的推导过程怎么写(圆面积公式的多种方法推导汇总)(图37)

  时,就是求半圆的面积,于是利用对称性,我们可知

圆面积的推导过程怎么写(圆面积公式的多种方法推导汇总)(图38)

  可以利用第一换元积分法等方法求出该积分的值,最后结果就是

圆面积的推导过程怎么写(圆面积公式的多种方法推导汇总)(图39)

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